Javakurs/Übungsaufgaben/Primzahlenaufgabe: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | * Der | + | * Der Modulo-Operator <code>%</code> gibt den Rest zurück, der beim Teilen von zwei Zahlen übrig bleibt. |
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| + | * Ihr braucht zwei verschachtelte Schleifen. Eine, die die Zahlen 1 bis n hochzählt und eine, die jede dieser Zahlen mit jeder kleineren Zahl auf Teilbarkeit überprüft. | ||
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| − | ''' | + | '''Vorbemerkung:''' |
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| − | + | Diese Aufgabe kann auf vielerlei Arten gelöst werden und ist weniger zum Verständnis von Schleifen, Arrays, Bedingungen und Co gedacht. Vielmehr soll die sinnvolle Anwendung dieser Konzepte vertieft werden. | |
| − | + | Die Hinweise sind nur als Anregungen zum Lösen der Aufgabe gedacht, falls man selbst gar keine Idee hat. | |
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Da es viele Möglichkeiten gibt die Aufgabe zu lösen, die Hinweise jedoch nur einen Weg aufzeigen, solltet ihr erstmal probieren selbst eine Lösung zu finden. | Da es viele Möglichkeiten gibt die Aufgabe zu lösen, die Hinweise jedoch nur einen Weg aufzeigen, solltet ihr erstmal probieren selbst eine Lösung zu finden. | ||
'''Aufgabe:''' | '''Aufgabe:''' | ||
| − | Um zu ermitteln ob eine Zahl x eine Primzahl ist muss man diese nicht durch sämtliche kleineren Zahlen teilen. | + | Um zu ermitteln, ob eine Zahl <code>x</code> eine Primzahl ist, muss man diese nicht durch sämtliche kleineren Zahlen teilen. |
| − | Tatsächlich reicht es wenn man x nur auf Teilbarkeit durch alle | + | Tatsächlich reicht es, wenn man <code>x</code> nur auf Teilbarkeit durch alle Zahlen <code>Z<x/2</code> überprüft (warum dies so ist, wird weiter unten beim Punkt "Hintergrund" erklärt). |
| − | Optimiert nun den | + | Optimiert nun den Algorithmus aus Aufgabe a) so, dass zum Überprüfen von Zahl <code>x</code> nur alle Zahlen kleiner <code>x/2</code> durchlaufen werden. |
'''Optionale Aufgabe:''' | '''Optionale Aufgabe:''' | ||
| − | + | Wie viele Primzahlen gibt es zwischen 1 und 10? Wieviele zwischen 1 und 100? 1 und 1000? ... | |
| − | Schreibt euch ein Programm | + | Schreibt euch ein Programm, das euch das Verhältniss von gefundenen Primzahlen zu der Anzahl der überprüften Zahlen ausgibt. |
'''Hinweise:''' | '''Hinweise:''' | ||
| − | * Speichert euch beim | + | * Speichert euch beim Durchlaufen der Zahlen jede gefundene Primzahl in einem Array. |
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| + | * Wie groß muss das Array zum Speichern der gefundenen Primzahlen, in Abhängigkeit von der Anzahl der zu überprüfenden Zahlen, maximal sein? Die optionale Aufgabe hilft, dies herauszufinden. | ||
'''Hintergrund:''' | '''Hintergrund:''' | ||
| − | Der Algorithmus aus Aufgabe a ist zwar einfach aber nicht gerade sehr intelligent. Beispielsweise würde es auch reichen beim | + | Der Algorithmus aus Aufgabe a ist zwar einfach, aber nicht gerade sehr intelligent. Beispielsweise würde es auch reichen, beim Überprüfen einer Primzahl <code>x</code> nur die ersten <code>x/2</code> Zahlen zu durchlaufen, da beim Teilen durch alle größeren Zahlen nur noch ein Wert zwischen 1 und 2 rauskommen kann. |
Veranschaulichung: | Veranschaulichung: | ||
| − | 23 / 11 = 2 rest 1<br> | + | 23 / 11 = 2 rest 1<br> |
| − | 23 / 12 = 1 rest 11<br> | + | 23 / 12 = 1 rest 11<br> |
| − | 23 / 13 = 1 rest 10<br> | + | 23 / 13 = 1 rest 10<br> |
| − | 23 / 14 = 1 rest 9<br> | + | 23 / 14 = 1 rest 9<br> |
| − | ...<br> | + | ...<br> |
| − | 23 / 22 = 1 rest 1<br> | + | 23 / 22 = 1 rest 1<br> |
| − | Eine weitere Optimierungsmöglichkeit stellt die Tatsache dar dass eine Zahl die nicht durch | + | Eine weitere Optimierungsmöglichkeit stellt die Tatsache dar, dass eine Zahl die nicht durch Zwei teilbar ist, auch nicht durch ein Vielfaches von Zwei teilbar sein wird. Praktisch heißt das, dass wir die zu überprüfende Zahl nur auf Teilbarkeit durch die ungeraden Zahlen sowie der Zwei überprüfen müssen. |
Beispiel: | Beispiel: | ||
| − | 25 / 2 = 12 rest 1 -> nicht durch zwei teilbar also auch nicht durch 4, 6, 8, 10, usw. -> nur ungerade Zahlen überprüfen | + | * 25 / 2 = 12 rest 1 -> nicht durch zwei teilbar, also auch nicht durch 4, 6, 8, 10, usw. -> nur ungerade Zahlen überprüfen |
| − | 25 / 3 = 8 rest 1 | + | * 25 / 3 = 8 rest 1 |
| − | 25 / 5 = 5 rest 0 -> keine Primzahl< | + | * 25 / 5 = 5 rest 0 -> keine Primzahl |
| + | |||
| + | Wie man sieht, spart man hier schon ein paar Überprüfungen. | ||
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| + | Die Regel, dass alle Zahlen, die nicht durch 2 teilbar, sind auch nicht durch ein Vielfaches von 2 teilbar sind, lässt sich noch verallgemeinern. Das heißt: | ||
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| + | Eine Zahl die nicht durch <code>t</code> teilbar ist, ist auch nicht durch ein Vielfaches von <code>t</code> teilbar. | ||
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| + | Dies bedeutet im Endeffekt, dass wir beim Überprüfen von <code>x</code> nur alle Primzahlen kleiner <code>x/2</code> überprüfen müssen. Da alle anderen Zahlen Vielfache einer kleineren Zahl sind, welche wir schon überprüft haben. | ||
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| + | == Kommentare == | ||
| + | Wenn du Anmerkungen zur Aufgabe hast oder Lob und Kritik loswerden möchtest, ist hier die richtige Stelle dafür. Klicke einfach ganz rechts auf "bearbeiten" und schreibe deinen Kommentar direkt ins Wiki. Keine Scheu, es geht nichts kaputt ;) | ||
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| + | <!-- | ||
| + | Als kleine Starthilfe folgt ein Beispiel, wie so ein Kommentar formatiert sein könnte. Mit "Vorschau zeigen" kannst du dir ansehen, was deine Änderung bewirken würde, ohne wirklich etwas zu ändern. | ||
| + | Du musst übrigens außerhalb dieses auskommentieren Bereichs schreiben ;) | ||
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| + | ==== Robert ==== | ||
| + | Na mal schauen, ob irgendjemand diese Funktion wirklich benutzt. Ich fände es jedenfalls toll. | ||
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| − | + | Eigentlich reicht es sogar aus, alle Zahlen die kleiner oder gleich als die abgerundete Wurzel des Kandidaten sind zu untersuchen. Jede Zahl die größer als die Wurzel und ganzzahliger Teiler des Kandidaten ist, hat als der Ergebnis der Division eine Zahl die kleiner als die Wurzel ist.--[[Benutzer:Bmay|Bmay]] 14:23, 4. Mär. 2009 (UTC) | |
| − | + | ==== Andy ==== | |
| + | wurde meiner Meinung nach eingepflegt! | ||
| + | --> | ||
| − | + | [[Kategorie: Java]] | |
| + | [[Kategorie: Java_Aufgaben]] | ||
| + | [[Kategorie: Javakurs]] | ||
Aktuelle Version vom 24. Februar 2013, 14:34 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Primzahlen
Als Primzahlen bezeichnet man alle natürlichen Zahlen, die nur durch sich selbst und die Zahl Eins teilbar sind. Also zum Beispiel 2, 3, 5, 7, 11, 13, usw. Die 1 ist per Definition keine Primzahl.
Einfacher Primzahlenfinder
Aufgabe:
Schreibt ein Programm, das die ersten n Primzahlen bestimmt und ausgibt.
Hinweise:
- Der einfachste Algorithmus um zu ermitteln, ob eine Zahl
xeine Primzahl ist, besteht darin,xdurch jede Zahl kleiner alsxzu teilen und zu überprüfen, ob ein Rest übrig bleibt.
Für die 25 würde der Algorithmus (ob 25 prim ist) also folgendermaßen ablaufen:
25 / 2 = 12 Rest 1
25 / 3 = 8 Rest 1
25 / 4 = 6 Rest 1
25 / 5 = 5 Rest 0 -> 25 ist keine Primzahl
Wenn der Algorithmus durchgelaufen ist, ohne einen Teiler für x gefunden zu haben, so muss x eine Primzahl sein.
- Der Modulo-Operator
%gibt den Rest zurück, der beim Teilen von zwei Zahlen übrig bleibt.
- Ihr braucht zwei verschachtelte Schleifen. Eine, die die Zahlen 1 bis n hochzählt und eine, die jede dieser Zahlen mit jeder kleineren Zahl auf Teilbarkeit überprüft.
Optimierung des Algorithmus
Vorbemerkung:
Diese Aufgabe kann auf vielerlei Arten gelöst werden und ist weniger zum Verständnis von Schleifen, Arrays, Bedingungen und Co gedacht. Vielmehr soll die sinnvolle Anwendung dieser Konzepte vertieft werden.
Die Hinweise sind nur als Anregungen zum Lösen der Aufgabe gedacht, falls man selbst gar keine Idee hat. Da es viele Möglichkeiten gibt die Aufgabe zu lösen, die Hinweise jedoch nur einen Weg aufzeigen, solltet ihr erstmal probieren selbst eine Lösung zu finden.
Aufgabe:
Um zu ermitteln, ob eine Zahl x eine Primzahl ist, muss man diese nicht durch sämtliche kleineren Zahlen teilen.
Tatsächlich reicht es, wenn man x nur auf Teilbarkeit durch alle Zahlen Z<x/2 überprüft (warum dies so ist, wird weiter unten beim Punkt "Hintergrund" erklärt).
Optimiert nun den Algorithmus aus Aufgabe a) so, dass zum Überprüfen von Zahl x nur alle Zahlen kleiner x/2 durchlaufen werden.
Optionale Aufgabe:
Wie viele Primzahlen gibt es zwischen 1 und 10? Wieviele zwischen 1 und 100? 1 und 1000? ...
Schreibt euch ein Programm, das euch das Verhältniss von gefundenen Primzahlen zu der Anzahl der überprüften Zahlen ausgibt.
Hinweise:
- Speichert euch beim Durchlaufen der Zahlen jede gefundene Primzahl in einem Array.
- Wie groß muss das Array zum Speichern der gefundenen Primzahlen, in Abhängigkeit von der Anzahl der zu überprüfenden Zahlen, maximal sein? Die optionale Aufgabe hilft, dies herauszufinden.
Hintergrund:
Der Algorithmus aus Aufgabe a ist zwar einfach, aber nicht gerade sehr intelligent. Beispielsweise würde es auch reichen, beim Überprüfen einer Primzahl x nur die ersten x/2 Zahlen zu durchlaufen, da beim Teilen durch alle größeren Zahlen nur noch ein Wert zwischen 1 und 2 rauskommen kann.
Veranschaulichung:
23 / 11 = 2 rest 1
23 / 12 = 1 rest 11
23 / 13 = 1 rest 10
23 / 14 = 1 rest 9
...
23 / 22 = 1 rest 1
Eine weitere Optimierungsmöglichkeit stellt die Tatsache dar, dass eine Zahl die nicht durch Zwei teilbar ist, auch nicht durch ein Vielfaches von Zwei teilbar sein wird. Praktisch heißt das, dass wir die zu überprüfende Zahl nur auf Teilbarkeit durch die ungeraden Zahlen sowie der Zwei überprüfen müssen.
Beispiel:
- 25 / 2 = 12 rest 1 -> nicht durch zwei teilbar, also auch nicht durch 4, 6, 8, 10, usw. -> nur ungerade Zahlen überprüfen
- 25 / 3 = 8 rest 1
- 25 / 5 = 5 rest 0 -> keine Primzahl
Wie man sieht, spart man hier schon ein paar Überprüfungen.
Die Regel, dass alle Zahlen, die nicht durch 2 teilbar, sind auch nicht durch ein Vielfaches von 2 teilbar sind, lässt sich noch verallgemeinern. Das heißt:
Eine Zahl die nicht durch t teilbar ist, ist auch nicht durch ein Vielfaches von t teilbar.
Dies bedeutet im Endeffekt, dass wir beim Überprüfen von x nur alle Primzahlen kleiner x/2 überprüfen müssen. Da alle anderen Zahlen Vielfache einer kleineren Zahl sind, welche wir schon überprüft haben.
Kommentare
Wenn du Anmerkungen zur Aufgabe hast oder Lob und Kritik loswerden möchtest, ist hier die richtige Stelle dafür. Klicke einfach ganz rechts auf "bearbeiten" und schreibe deinen Kommentar direkt ins Wiki. Keine Scheu, es geht nichts kaputt ;)
