Javakurs/Übungsaufgaben/Appleman: Unterschied zwischen den Versionen
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== Appleman == | == Appleman == | ||
| − | Die Mandelbrot-Menge, oder auch | + | Die Mandelbrot-Menge, oder auch Apfelmännchen genannt, ist eine ganz bestimme Menge von komplexen Zahlen. Sie gehört zu den sogenannten [[wikipedia:Fraktal|Fraktalen]] und man kennt sie aus unzähligen Darstellungen in Printmedien. Für eine genaue Definition und Berechnungsvorschrift sei auf die Wikipedia verwiesen: [[wikipedia:Mandelbrot-Menge#Definition_.C3.BCber_Rekursion |Mandelbrot-Menge, Definition über Rekursion]. In dieser Aufgabe soll es darum gehen, ein Programm zur Darstellung eines solchen Apfelmännchens zu programmieren. |
| − | === Theorie === | + | === Theorie... === |
# Lies dir die Definition der Mandelbrot-Menge durch. | # Lies dir die Definition der Mandelbrot-Menge durch. | ||
| − | # | + | # Überlege dir, wie du die komplexen Zahlen ''c'' und ''z''<sub>''n''</sub> mit Java darstellen kannst. Welche Datentypen sind zur Berechnung notwendig? |
| − | # | + | # Überlege dir, wie du die Folge berechnest (quadrieren komplexer Zahlen). |
| − | # | + | # Überlege dir die Abbruchbedingungen für die Berechnung der Folge und was aus den beiden Fällen folgt. |
| − | # Entwirf die | + | # Entwirf die grundsätzliche Struktur des Algorithmus. Plane dabei eine Methode ''pointIteration(...)'' ein, die die Iteration für jeden Punkt durchführt. |
| − | === und Praxis === | + | === ... und Praxis === |
| − | Nachdem du nun hoffentlich den theoretischen Teil hinter dir hast, kannst du mit der Implementierung beginnen. Zur Grafikdarstellung gibt es die einfach zu bedienende Klasse "Pad", die ein Fenster erstellt in dem du mit einfachen | + | Nachdem du nun hoffentlich den theoretischen Teil hinter dir hast, kannst du mit der Implementierung beginnen. Zur Grafikdarstellung gibt es die einfach zu bedienende Klasse "Pad", die ein Fenster erstellt, in dem du mit einfachen Methoden zeichnen kannst. |
| − | Falls du noch nicht die | + | Falls du noch nicht die ÜBB-Klassen in deinem Javakurs-Verzeichnis hast, lade dir von http://uebb.cs.tu-berlin.de/books/java/ der ÜBB-Seite] die Klassen Pad, Point unter Terminal herunter und lege sie in dem Verzeichnis ab, in dem auch dein Programm entstehen soll. |
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Pad drawPad = new Pad(); | Pad drawPad = new Pad(); | ||
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drawPad.setPadSize(int width, int height); | drawPad.setPadSize(int width, int height); | ||
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//zeichnet einen Punkt an der Stelle (x,y). | //zeichnet einen Punkt an der Stelle (x,y). | ||
| − | Du musst noch nicht verstehen was dies sprachlich genau bedeutet. In | + | Du musst noch nicht verstehen, was dies sprachlich genau bedeutet. In [[Javakurs2007/Vortrag05|Vorträgen 5]] und [[Javakurs2007/Vortrag06|6]] sollte dann klar werden was, drawPad ist. |
| − | # Implementiere die ''pointIteration(...)'' Methode | + | # Implementiere die ''pointIteration(...)''-Methode |
| − | # Teste die Methode. Teste dabei Werte die eindeutig innerhalb bzw. | + | # Teste die Methode. Teste dabei Werte die eindeutig innerhalb bzw. außerhalb der Mandelbrot-Menge liegen. |
| − | # Lass diese Methode nun | + | # Lass diese Methode nun für jeden Punkt im Fenster ausführen. Dabei wird der Parameter ''c'' aus der aktuellen x- und y-Koordinate zusammengesetzt. |
# Zeichne die Punkte der Mandelbrot-Menge. | # Zeichne die Punkte der Mandelbrot-Menge. | ||
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Komplexe Zahlen werden in Normalform als ''z'' = ''a'' + ''b'' ''i'' dargestellt. | Komplexe Zahlen werden in Normalform als ''z'' = ''a'' + ''b'' ''i'' dargestellt. | ||
| − | Um ''z'' zu quadrieren kann man sich entweder einen eigenen Datentyp schreiben, der die Multiplikation implementiert ODER man macht es sich einfach und berechnet das Quadrat Komponentenweise. | + | Um ''z'' zu quadrieren, kann man sich entweder einen eigenen Datentyp schreiben, der die Multiplikation implementiert ODER man macht es sich einfach und berechnet das Quadrat Komponentenweise. |
''z''<sub>''n''+1</sub> = ''z''<sub>''n''</sub><sup>2</sup> + ''c'' = (''a''<sub>''z''<sub>''n''</sub></sub>+''b''<sub>''z''<sub>''n''</sub></sub>i) + (''a''<sub>''c''</sub> + ''b''<sub>''c''</sub>i)<sup>2</sup> = ''a''<sub>''z''<sub>''n''</sub></sub><sup>2</sup> - ''b''<sub>''z''<sub>''n''</sub></sub><sup>2</sup> + 2''a''<sub>''z''<sub>''n''</sub></sub>''b''<sub>''z''<sub>''n''</sub></sub>i + ''a''<sub>''c''</sub> + ''b''<sub>''c''</sub>i = | ''z''<sub>''n''+1</sub> = ''z''<sub>''n''</sub><sup>2</sup> + ''c'' = (''a''<sub>''z''<sub>''n''</sub></sub>+''b''<sub>''z''<sub>''n''</sub></sub>i) + (''a''<sub>''c''</sub> + ''b''<sub>''c''</sub>i)<sup>2</sup> = ''a''<sub>''z''<sub>''n''</sub></sub><sup>2</sup> - ''b''<sub>''z''<sub>''n''</sub></sub><sup>2</sup> + 2''a''<sub>''z''<sub>''n''</sub></sub>''b''<sub>''z''<sub>''n''</sub></sub>i + ''a''<sub>''c''</sub> + ''b''<sub>''c''</sub>i = | ||
Version vom 11. April 2007, 11:32 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Vorüberlegungen
Lest euch zunächst etwas Wissen über Komplexe Zahlen an. Legt besonderes Augenmerk auf das Quadrieren von komplexen Zahlen in Normalform, andere Darstellungsformen von komplexen Zahlen werden hier nicht benötigt.
Appleman
Die Mandelbrot-Menge, oder auch Apfelmännchen genannt, ist eine ganz bestimme Menge von komplexen Zahlen. Sie gehört zu den sogenannten Fraktalen und man kennt sie aus unzähligen Darstellungen in Printmedien. Für eine genaue Definition und Berechnungsvorschrift sei auf die Wikipedia verwiesen: [[wikipedia:Mandelbrot-Menge#Definition_.C3.BCber_Rekursion |Mandelbrot-Menge, Definition über Rekursion]. In dieser Aufgabe soll es darum gehen, ein Programm zur Darstellung eines solchen Apfelmännchens zu programmieren.
Theorie...
- Lies dir die Definition der Mandelbrot-Menge durch.
- Überlege dir, wie du die komplexen Zahlen c und zn mit Java darstellen kannst. Welche Datentypen sind zur Berechnung notwendig?
- Überlege dir, wie du die Folge berechnest (quadrieren komplexer Zahlen).
- Überlege dir die Abbruchbedingungen für die Berechnung der Folge und was aus den beiden Fällen folgt.
- Entwirf die grundsätzliche Struktur des Algorithmus. Plane dabei eine Methode pointIteration(...) ein, die die Iteration für jeden Punkt durchführt.
... und Praxis
Nachdem du nun hoffentlich den theoretischen Teil hinter dir hast, kannst du mit der Implementierung beginnen. Zur Grafikdarstellung gibt es die einfach zu bedienende Klasse "Pad", die ein Fenster erstellt, in dem du mit einfachen Methoden zeichnen kannst.
Falls du noch nicht die ÜBB-Klassen in deinem Javakurs-Verzeichnis hast, lade dir von http://uebb.cs.tu-berlin.de/books/java/ der ÜBB-Seite] die Klassen Pad, Point unter Terminal herunter und lege sie in dem Verzeichnis ab, in dem auch dein Programm entstehen soll. Wenn du dies getan hast, steht dir die Grafikfunktionalität zur Verfuegung.
//Mit Pad drawPad = new Pad(); //wird ein neues Fenster erzeugt. drawPad.setPadSize(int width, int height); //setzt die Größe des Fensters. drawPad.setVisible(true); //zeigt das Fenster an. drawPad.drawDot(int x, int y); //zeichnet einen Punkt an der Stelle (x,y).
Du musst noch nicht verstehen, was dies sprachlich genau bedeutet. In Vorträgen 5 und 6 sollte dann klar werden was, drawPad ist.
- Implementiere die pointIteration(...)-Methode
- Teste die Methode. Teste dabei Werte die eindeutig innerhalb bzw. außerhalb der Mandelbrot-Menge liegen.
- Lass diese Methode nun für jeden Punkt im Fenster ausführen. Dabei wird der Parameter c aus der aktuellen x- und y-Koordinate zusammengesetzt.
- Zeichne die Punkte der Mandelbrot-Menge.
- Fertig :)
Hinweise
Koordinaten im Computer
Am Computer werden Koordination, historisch bedingt, anders behandelt als im rechtwinkligen Koordinatensystem. Koordination im Computer werden von links nach rechts, als X-Achse und von oben nach unten als Y-Achse berechnet. Beachte dies bei der Verwendung von drawPad.drawDot(x,y).
(0,0)-------------------- X | (640,0) | | | | | | (0,480) (640,480) Y
Quadrieren komplexer Zahlen
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ACHTUNG: Teaser - lies hier nur weiter, wenn du nicht weiter kommst oder ... dir den Spass verderben willst.
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Komplexe Zahlen werden in Normalform als z = a + b i dargestellt.
Um z zu quadrieren, kann man sich entweder einen eigenen Datentyp schreiben, der die Multiplikation implementiert ODER man macht es sich einfach und berechnet das Quadrat Komponentenweise.
zn+1 = zn2 + c = (azn+bzni) + (ac + bci)2 = azn2 - bzn2 + 2aznbzni + ac + bci = (azn2 - bzn2 + ac) + (2aznbzn + bc)i
zn+1 = azn+1 + bzn+1i laesst sich also komponentenweise berechnen mit:
azn+1 = (azn2 - bzn2 + ac)
bzn+1 = (2aznbzn + bc)
In Java sieht dies wie folgt aus:
double cReal = startX; double cImg = startY; double zReal = 0; double zImg = 0; zReal = zReal*zReal - zImg*zImg + cReal; zImg = 2*zReal*zImg + cImg;
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