Javakurs/Übungsaufgaben/Gauß-Algorithmus: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 1. August 2010, 11:59 Uhr

Aufgabenstellung

Ziel der Aufgabe ist es, eine (oder mehrere) Methoden zu schreiben, welche am Ende ein lineares Gleichungssystem nach Gauß lösen. Der Gauß-Algorithmus wird auch als Gaußsches Eliminationsverfahren bezeichnet.

Zunächst allerdings einige kleinere Aufgaben, die das Ganze etwas vorbereiten.

1.) Schreibt eine Methode printVector(), die ein übergebenes, 1-dimensionales Array vom Typ double zeilenweise auf der Konsole ausgibt.

Mit welchen der während des Vortrages kennengelernten Schleifentypen lässt sich diese Methode realisieren?

2.) Schreibt nun eine Methode printMatrix(), die eine übergebenes, 2-dimensionales Array vom Typ double auf der Konsole ausgibt.

Testet eure beiden Methoden, indem ihr verschiedene Array deklariert und initialisiert, und anschließend den Methoden printVector() bzw. printMatrix() als Parameter übergebt.

3.) In dieser Aufgabe wollen wir eine Methode entwickeln, das mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens ("Gauß-Algorithmus") ein lineares Gleichungssystem löst.

Ein lineares Gleichungssystem lässt sich in der Form Ax=b darstellen, wobei A die Koeffizientenmatrix, b der Zielvektor und x der gesuchte Lösungsvektor ist. Koeffizientenmatrix und Zielvektor lassen durch ein 2-dimensionales, bzw. durch ein 1-dimensionales Array darstellen. Eure Methode soll Koeffizientenmatrix und Zielvektor als Parameter übergeben bekommen, und den gesuchten Lösungsvektor als Rückgabewert haben. Bei eurer Implementierung braucht ihr die Pivotisierung vorerst nicht zu beachten.

Hinweise:

Der Algorithmus arbeitet in 2 Etappen:

a) Erzeugen der Zeilen-Stufen-Form

b) Bestimmen des Lösungsvektors durch rückwärtseinsetzen

Nutzt das bei Wikipedia angegebene Beispiel, um die korrekte Funktionsweise eures Programms zu testen und eure in 1.) und 2.) entwickelten Methoden, um Matrix und Vektoren an bestimmten Stellen des Algorithmus zu Debugging-Zwecken auszugeben.

4.) Bis jetzt kann euer Algorithmus nur eindeutig lösbare Gleichungssysteme lösen. Erweitert euren Algorithmus um einige Fallunterscheidungen, so dass dieser bei Gleichungssystemen mit keiner bzw. unendlich vielen Lösungen jeweils den Rückgabewert "null" hat.

Hinweise:

Aussagen über die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems kann man nach Erzeugen der Zeilen-Stufen-Form treffen.

1.) Gibt es sogenannte Nullzeilen (alle Elemente einer Zeile der Koeffizientenmatrix und das Element der entsprechenden Zeile des Zielvektors sind 0), so existieren unendlich viele Lösungen.

2.) Sind alle Elemente einer Zeile der Koeffizientenmatrix gleich 0, das Element der entsprechenden Zeile des Zielvektors jedoch nicht, so hat das Gleichungssystem keine Lösung.

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Kommentare

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-'''1.)'''  Schreibt eine Methode printVektor(), die ein übergebenes, 1-dimensionales Array vom Typ double zeilenweise auf der Konsole ausgibt.
+=== Aufgabenstellung ===
-Mit welchen der während des Vortrages kennengelernten Schleifentypen lässt sich diese Methode realisieren?
+Ziel der Aufgabe ist es, eine (oder mehrere) Methoden zu schreiben, welche am Ende ein lineares Gleichungssystem nach Gauß lösen. Der Gauß-Algorithmus wird auch als [[wikipedia:Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußsches Eliminationsverfahren]] bezeichnet.
+Zunächst allerdings einige kleinere Aufgaben, die das Ganze etwas vorbereiten.
-Schreibt diese Methode mit 2 von euch gewählten, verschiedenen Schleifentypen.
+'''1.)'''  Schreibt eine Methode printVector(), die ein übergebenes, 1-dimensionales Array vom Typ double zeilenweise auf der Konsole ausgibt.
-Da wir uns erst morgen im Genaueren mit Methoden befassen werden, nutzt den angegebenen Methodenrumpf für eure Implementierung.
+Mit welchen der während des Vortrages kennengelernten Schleifentypen lässt sich diese Methode realisieren?
- public static void printVector(double[] vector) {
-      ...
- }
-Nun könnt ihr die Methode in der main-Methode eurer Klasse benutzen.
 '''2.)''' Schreibt nun eine Methode printMatrix(), die eine übergebenes, 2-dimensionales Array vom Typ double auf der Konsole ausgibt.
-Nutzt folgenden Methodenrumpf für eure Implementierung:
- public static void printMatrix(double[][] matrix) {
-      ...
- }
 Testet eure beiden Methoden, indem ihr verschiedene Array deklariert und initialisiert, und anschließend den Methoden printVector() bzw. printMatrix() als Parameter übergebt.
-'''3.)''' In dieser Aufgabe wollen wir eine Methode entwickeln, die mit Hilfe des gaußschen Eliminationsverfahrens ("Gauß-Algorithmus") ein lineares Gleichungssystem löst.
+'''3.)''' In dieser Aufgabe wollen wir eine Methode entwickeln, das mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens ("Gauß-Algorithmus") ein lineares Gleichungssystem löst.
+Ein lineares Gleichungssystem lässt sich in der Form  Ax=b darstellen, wobei A die Koeffizientenmatrix, b der Zielvektor und x der gesuchte Lösungsvektor ist. Koeffizientenmatrix und Zielvektor lassen durch ein 2-dimensionales, bzw. durch ein 1-dimensionales Array darstellen. Eure Methode soll Koeffizientenmatrix und Zielvektor als Parameter übergeben bekommen, und den gesuchten Lösungsvektor als Rückgabewert haben. Bei eurer Implementierung braucht ihr die Pivotisierung vorerst nicht zu beachten.
-Macht euch zunächst mit Hilfe des [http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren Wikipedia-Artikels] die prinzipielle Arbeitsweise des Algorithmus klar.
-Ein lineares Gleichungssystem lässt sich in der Form  Ax=b darstellen, wobei A die Koeffizientenmatrix, b der Zielvektor und x der gesuchte Lösungsvektor ist. Eure Methode soll die Koeffizientenmatrix und den Zielvektor übergeben bekommen, und den gesuchten Lösungsvektor nach Berechnung auf der Konsole ausgeben. Bei eurer Implementierung braucht ihr die Pivotisierung nicht beachten.
+'''Hinweise:'''
+Der Algorithmus arbeitet in 2 Etappen:
+a) Erzeugen der Zeilen-Stufen-Form
+b) Bestimmen des Lösungsvektors durch rückwärtseinsetzen
+Nutzt das bei Wikipedia angegebene Beispiel, um die korrekte Funktionsweise eures Programms zu testen und eure in 1.) und 2.) entwickelten Methoden, um Matrix und Vektoren an bestimmten Stellen des Algorithmus zu Debugging-Zwecken auszugeben.
+'''4.)''' Bis jetzt kann euer Algorithmus nur eindeutig lösbare Gleichungssysteme lösen. Erweitert euren Algorithmus um einige Fallunterscheidungen, so dass dieser bei Gleichungssystemen mit keiner bzw. unendlich vielen Lösungen jeweils den Rückgabewert "null" hat.
+'''Hinweise:'''
+Aussagen über die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems kann man nach Erzeugen der Zeilen-Stufen-Form treffen.
+.) Gibt es sogenannte Nullzeilen (alle Elemente einer Zeile der Koeffizientenmatrix und das Element der entsprechenden Zeile des Zielvektors sind 0), so existieren unendlich viele Lösungen.
+.) Sind alle Elemente einer Zeile der Koeffizientenmatrix gleich 0, das Element der entsprechenden Zeile des Zielvektors jedoch nicht, so hat das Gleichungssystem keine Lösung.
+== Zurück zu den Aufgaben ==
-Nutzt folgenden Methodenrumpf:
- public static void gaussAlgorithm(double[][] coefficientMatrix, double[] targetVector[]) {
-     ...
- }
-Hinweise:
+[[Javakurs/Übungsaufgaben|hier geht es weiter]]
-Der Algorithmus arbeitet in 2 Etappen:
+== Kommentare ==
+Wenn du Anmerkungen zur Aufgabe hast oder Lob und Kritik loswerden möchtest, ist hier die richtige Stelle dafür. Klicke einfach ganz rechts auf "bearbeiten" und schreibe deinen Kommentar direkt ins Wiki. Keine Scheu, es geht nichts kaputt ;)
-. Erzeugen der Zeilen-Stufen-Form
+<!--
+Als kleine Starthilfe folgt ein Beispiel, wie so ein Kommentar formatiert sein könnte. Mit "Vorschau zeigen" kannst du dir ansehen, was deine Änderung bewirken würde, ohne wirklich etwas zu ändern.
+Du musst übrigens außerhalb dieses auskommentieren Bereichs schreiben ;)
-. Bestimmen des Lösungsvektors durch rückwärtseinsetzen
+==== Robert ====
+Na mal schauen, ob irgendjemand diese Funktion wirklich benutzt. Ich fände es jedenfalls toll.
+-->
-Nutzt das bei Wikipedia angegebene Bespiel, um die korrekte Funktionsweise eurer Methode zu überprüfen und eure in 1.) und 2.) entwickelten Methoden, um Matrix und Vektoren an bestimmten Stellen des Algorithmus zu debug-Zwecken auszugeben.
+[[Kategorie:Java]]
+[[Kategorie:Java_Aufgaben]]