Javakurs/Übungsaufgaben/Gauß-Algorithmus
Aufgabenstellung
Ziel der Aufgabe ist es, eine (oder mehrere) Methoden zu schreiben, welche am Ende ein lineares Gleichungssystem nach Gauß lösen. Der Gauß-Algorithmus wird auch als Gaußsches Eliminationsverfahren bezeichnet.
Zunächst allerdings einige kleinere Aufgaben, die das Ganze etwas vorbereiten.
1.) Schreibt eine Methode printVector(), die ein übergebenes, 1-dimensionales Array vom Typ double zeilenweise auf der Konsole ausgibt.
Mit welchen der während des Vortrages kennengelernten Schleifentypen lässt sich diese Methode realisieren?
2.) Schreibt nun eine Methode printMatrix(), die eine übergebenes, 2-dimensionales Array vom Typ double auf der Konsole ausgibt.
Testet eure beiden Methoden, indem ihr verschiedene Array deklariert und initialisiert, und anschließend den Methoden printVector() bzw. printMatrix() als Parameter übergebt.
3.) In dieser Aufgabe wollen wir eine Methode entwickeln, das mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens ("Gauß-Algorithmus") ein lineares Gleichungssystem löst.
Ein lineares Gleichungssystem lässt sich in der Form Ax=b darstellen, wobei A die Koeffizientenmatrix, b der Zielvektor und x der gesuchte Lösungsvektor ist. Koeffizientenmatrix und Zielvektor lassen durch ein 2-dimensionales, bzw. durch ein 1-dimensionales Array darstellen. Eure Methode soll Koeffizientenmatrix und Zielvektor als Parameter übergeben bekommen, und den gesuchten Lösungsvektor als Rückgabewert haben. Bei eurer Implementierung braucht ihr die Pivotisierung vorerst nicht zu beachten.
Hinweise:
Der Algorithmus arbeitet in 2 Etappen:
a) Erzeugen der Zeilen-Stufen-Form
b) Bestimmen des Lösungsvektors durch rückwärtseinsetzen
Nutzt das bei Wikipedia angegebene Beispiel, um die korrekte Funktionsweise eures Programms zu testen und eure in 1.) und 2.) entwickelten Methoden, um Matrix und Vektoren an bestimmten Stellen des Algorithmus zu Debugging-Zwecken auszugeben.
4.) Bis jetzt kann euer Algorithmus nur eindeutig lösbare Gleichungssysteme lösen. Erweitert euren Algorithmus um einige Fallunterscheidungen, so dass dieser bei Gleichungssystemen mit keiner bzw. unendlich vielen Lösungen jeweils den Rückgabewert "null" hat.
Hinweise:
Aussagen über die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems kann man nach Erzeugen der Zeilen-Stufen-Form treffen.
1.) Gibt es sogenannte Nullzeilen (alle Elemente einer Zeile der Koeffizientenmatrix und das Element der entsprechenden Zeile des Zielvektors sind 0), so existieren unendlich viele Lösungen.
2.) Sind alle Elemente einer Zeile der Koeffizientenmatrix gleich 0, das Element der entsprechenden Zeile des Zielvektors jedoch nicht, so hat das Gleichungssystem keine Lösung.
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