Javakurs/Übungsaufgaben/Appleman

Vorüberlegungen

Zunächst lest euch etwas Wissen über Komplexe Zahlen an, hier gibt es z.B. Informationen http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahlen. Legt besonderes Augenmerk auf das Quadrieren von komplexen Zahlen in Normalform, andere Darstellungsformen von komplexen Zahlen werden hier nicht benoetigt.

Appleman

Die Mandelbrot-Menge, oder auch Apfelmaennchen genannt, ist eine ganz bestimmen Menge von komplexen Zahlen. Sie gehoert zu den sog. Fraktalen und man kennt sie aus unzaehligen Darstellungen in Printmedien. Fuer eine genaue Definition und Berechnungsvorschrift sei auf die Wikipedia verwiesen: Mandelbrot-Menge, Definition ueber Rekursion. In dieser Aufgabe soll es darum gehen ein Programm zur Darstellung eines solchen Apfelmaennchens zu programmieren.

Theorie

1. Lies dir die Definition der Mandelbrot-Menge durch.
2. Ueberlege dir, wie du die komplexen Zahlen c und z_n mit Java darstellen kannst. Welche Datentypen sind zur Berechnung notwendig?
3. Ueberlege dir, wie du die Folge berechnest (quadrieren komplexer Zahlen).
4. Ueberlege dir die Abbruchbedingungen fuer die Berechnung der Folge und was aus den beiden Faellen folgt.
5. Entwirf die grundsaetzliche Struktur des Algorithmus. Plane dabei eine Methode pointIteration(...) ein, die die Iteration fuer jeden Punkt durchfuehrt.

und Praxis

Nachdem du nun hoffentlich den theoretischen Teil hinter dir hast, kannst du mit der Implementierung beginnen. Zur Grafikdarstellung gibt es die einfach zu bedienende Klasse "Pad", die ein Fenster erstellt in dem du mit einfachen Routinen zeichnen kannst.

Falls du noch nicht die UEBB-Klassen in deinem Javakurs Verzeichnis hast, lade dir von http://uebb.cs.tu-berlin.de/books/java/ die Klassen Pad, Point unter Terminal herunter und lege sie in das Verzeichnis ab, in dem auch dein Programm entstehen soll. Wenn du dies getan hast, steht dir die Grafikfunktionalitaet zur Verfuegung.

//Mit
Pad drawPad = new Pad();
//wird ein neues Fenster erzeugt.

drawPad.setPadSize(int width, int height);
//setzt die Groesse des Fensters.

drawPad.setVisible(true);
//zeigt das Fenster an.

drawPad.drawDot(int x, int y);
//zeichnet einen Punkt an der Stelle (x,y).

Du musst noch nicht verstehen was dies sprachlich genau bedeutet. In LE5 und LE6 sollte dann klar werden was DrawPad ist.

1. Implementiere die pointIteration(...) Methode
2. Teste die Methode. Teste dabei Werte die eindeutig innerhalb bzw. ausserhalb der Mandelbrot-Menge liegen.
3. Lass diese Methode nun fuer jeden Punkt im Fenster ausfuehren. Dabei wird der Parameter c aus der aktuellen x und y Koordinate zusammengesetzt.
4. Zeichne die Punkte der Mandelbrot-Menge.
5. Fertig :)

Hinweise

Koordination im Computer

Am Computer werden Koordination, historisch bedingt, anders behandelt als im rechtwinkligen Koordinatensystem. Koordination im Computer werden von links nach rechts, als X-Achse und von oben nach unten als Y-Achse berechnet. Beachte dies bei der Verwendung von drawPad.drawDot(x,y).

(0,0)-------------------- X
|                  (640,0)
|
|
|
|
|
| (0,480)          (640,480)
Y

Quadrieren komplexer Zahlen

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ACHTUNG: Teaser - lies hier nur weiter wenn du nicht weiter kommst oder ... dir den Spass verderben willst.

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Komplexe Zahlen werden in Normalform als z = a + b i dargestellt. Um z zu quadrieren kann man sich entweder einen eigenen Datentyp schreiben, der die Multiplikation implementiert ODER man macht es sich einfach und berechnet das Quadrat Komponentenweise.

z_n+1 = z_n² + c = (a_zn+b_zni) + (a_c + b_ci)² = a_zn² - b_zn² + 2a_znb_zni + a_c + b_ci = (a_zn² - b_zn² + a_c) + (2a_znb_zn + b_c)i

z_n+1 = a_zn+1 + b_zn+1i laesst sich also komponentenweise berechnen mit:
a_zn+1 = (a_zn² - b_zn² + a_c)
b_zn+1 = (2a_znb_zn + b_c)

In Java sieht dies wie folgt aus:

double cReal = startX;
double cImg = startY;
double zReal = 0;
double zImg = 0;

zReal = zReal*zReal - zImg*zImg + cReal;
zImg = 2*zReal*zImg + cImg;