Quelltext der Seite Lösungen TheGI TI Probeklausur vom 19.01.06

Für die Lösungen wird natürlich keine Garantie übernommen. Der Assistent (Sebastian Bab?) war sich beim Vorrechnen oft selbst nicht sicher...
===Aufgabe 1===
:im Lückentext einsetzen: endliche, endlich, abzählbar unendlich, endlich, abzählbar unendlich, Mächtigkeit, Mächtigkeit, überabzählbar

===Aufgabe 2===
:{| border="1" style="margin:1em 1em 1em 0; border-style:solid; border-width:1px; border-collapse:collapse; empty-cells:show"
|a &isin; &Sigma;
|&Sigma;&#8305; = &Sigma;
|&epsilon; &notin; &Sigma;<sup>+</sup>
|&epsilon; &isin; &Sigma;*
|-
|&oslash; &sube; &Sigma;<sup>+</sup>
|&oslash; &sube; &Sigma;*
|a &isin; &Sigma;*
|{&epsilon;} &notin; &Sigma;*
|-
|&Sigma;&#178; &sube; &Sigma;*
|&oslash; &isin; P(&Sigma;*)
|{&epsilon;} &isin; P(&Sigma;*)
|&Sigma;&#178; &isin; P(&Sigma;*)
|}
:{|  border="1" style="margin:1em 1em 1em 0; border-style:solid; border-width:1px; border-collapse:collapse; empty-cells:show"
|{''aa,bb,ab,ba''} = &Sigma;&#178;
|{''xab'' : x &isin; &Sigma;*} = {''x'' &isin; &Sigma;* : ''x'' endet mit ''ab''}
|-
|{''ab,bb,aba''} &sube; &Sigma;*
|{''axab'' : ''x'' &isin; &Sigma;*} &sube; {''x'' &isin; &Sigma;* : ''x'' endet mit ''ab''}
|}

===Aufgabe 3===
# {''x'' &isin; &Sigma;*; ''x'' beginnt mit ''a'' und endet mit ''b''}
# {''x'' &isin; &Sigma;*; ''x'' beginnt mit ''a'' oder ''b''}
# {''x'' &isin; &Sigma;*; ''x'' beginnt mit ''a'' oder ''b'' oder ist das leere Wort}
# {''x'' &isin; &Sigma;*; ''x'' beginnt nicht mit ''a''}
# {&oslash;,{''a''},{''b''},{''a,b''}}
# {(''a,a''),(''a,b''),(''b,a''),(''b,b'')}

===Aufgabe 4===
:''hier müßte man irgendwie Bilder hochladen können...''

===Aufgabe 5===

:a) ''L<sub>2</sub>'' = {''x'' &isin; &Sigma;*; ''x'' beginnt mit ''ab''}
:b)
::{|  border="1" style="margin:1em 1em 1em 0; border-style:solid; border-width:1px; border-collapse:collapse; empty-cells:show"
!
!a
!b
|-
|&rarr;q<sub>0</sub>
|q<sub>1</sub>
|q<sub>3</sub>
|-
|q<sub>1</sub>
|q<sub>3</sub>
|q<sub>2</sub>
|-
|*q<sub>2</sub>
|q<sub>2</sub>
|q<sub>2</sub>
|-
|q<sub>3</sub>
|q<sub>3</sub>
|q<sub>3</sub>
|}
:c) einfach nur normale und Endzustände vertauschen
::{|  border="1" style="margin:1em 1em 1em 0; border-style:solid; border-width:1px; border-collapse:collapse; empty-cells:show"
!
!a
!b
|-
|&rarr;q<sub>0</sub>
|q<sub>1</sub>
|q<sub>3</sub>
|-
|*q<sub>1</sub>
|q<sub>3</sub>
|q<sub>2</sub>
|-
|q<sub>2</sub>
|q<sub>2</sub>
|q<sub>2</sub>
|-
|*q<sub>3</sub>
|q<sub>3</sub>
|q<sub>3</sub>
|}

===Aufgabe 6===
:a) ''L<sub>3</sub>'' = {''x'' &isin; &Sigma;*; ''x'' = (a<sup>n</sup>b)*a<sup>m</sup>; n,m &ge; 1}  ''dies ist meine Lösung. Über diese Aufgabe wurde lange diskutiert ohne dass etwas Vernünftiges heraus kam.''
:b)
::{| border="1" style="margin:1em 1em 1em 0; border-style:solid; border-width:1px; border-collapse:collapse; empty-cells:show"
!
!a
!b
|-
|&rarr;q<sub>0</sub>
|q<sub>1</sub>
| -
|-
|*q<sub>1</sub>
|q<sub>1</sub>
|q<sub>0</sub>
|}
:c) Der Trick ist, dass der DEA erst in einen totalen DEA umgeform werden muß. D.h. man muß einen Zustand q<sub>2</sub> hinzufügen, der von q<sub>0</sub> aus mit dem ''b'' erreicht wird. Danach wie bei Aufgabe 5 einfach die Zustände invertieren.

===Aufgabe 7===
:a) ''L<sub>4</sub>'' = {''x'' &isin; &Sigma;*; ''x'' endet mit ''a''}
:b) ''bild einfügen''
:c)
::{| border="1" style="margin:1em 1em 1em 0; border-style:solid; border-width:1px; border-collapse:collapse; empty-cells:show"
!
!a
!b
|-
|&rarr;q<sub>0</sub>
|{q<sub>1</sub>,q<sub>0</sub>}
|{q<sub>0</sub>}
|-
|*q<sub>1</sub>
|&oslash;
|&oslash;
|}

===Aufgabe 8,9,10===
:''Lösungen werden in einer kommenden Vorlesung nachgereicht''

===Aufgabe 11===
:(Fortsetzung des Ansatzes) Da das Wort ''w'' mehr Zeichen enthält als der Automat Zustände hat, muß bei der Ableitung von ''w'' ein Zustand in A mindestens 2x besucht worden sein. Sei q<sub>s</sub> der erste Zustand in der Ableitung von ''w'', bei dem dies auftritt.
:Zerlege ''w'' wie folgt: ''w''=''xyz'' mit:
:*''x'' ist das Wort, welches bis zum ersten Auftreten von q<sub>s</sub> von A gelesen wird.
:*''y'' ist das Wort, welches vom Automaten in der Schleife von q<sub>s</sub> nach q<sub>s</sub> gelesen wird.
:*''z'' ist der Rest des Wortes ''w''.
: Es gelten die drei Eigenschaften des Pumping-Lemmas:
:#''y'' &ne; &epsilon; : offensichtlich, da jede Schleife mindestens eine Zahl beinhaltet.
:#''|xy|'' &lt; ''n'' : gilt, da wir die erste Schleife in A gewählt haben.
:#''xy''<sup>k</sup>''z'' in ''L'' : Schleifen können mehrfach oder gar nicht abgearbeitet werden.

===Aufgabe 12===
:a) wähle n=5
:b) ''w''=abaaa ; ''x''=ab, ''y''=a, ''z''=aa; ''xy<sup>3</sup>z''=abaaaaa

===Aufgabe 13===
: (weiter nach Ansatz) Nach Definition des Pumping-Lemma läßt sich ''w'' in ''w''=xyz zerlegen. Nach Eigenschaft (2) des PL kann der Teil xy nur aus a's bestehen. y ist mindestens ein a. Nach (3) ist dann auch das Wort xy<sup>2</sup>z &isin; L. Für dieses Wort gilt aber xy<sup>2</sup>z = a<sup>n-|y|</sup>a<sup>|y|+|y|</sup>a<sup>n</sup>. Da n-|y|+|y|+|y| = n+|y| &ne; n gilt, stehen zu Beginn des Wortes mehr a's als am Ende &rarr; Widerspruch!

===Aufgabe 14===
:a) ''bilder...''
:b)
:#S&rArr; ''a''S&rArr; ''aa''S''b''S&rArr; ''aaa''S''b''S''b''S&rArr; ''aaab''S''b''S&rArr; ''aaabb''S&rArr; ''aaabb''
:#S&rArr; ''a''S''b''S&rArr; ''aa''S''b''S&rArr; ''aaa''S''b''S''b''S&rArr; ''aaab''S''b''S&rArr; ''aaabb''S&rArr; ''aaabb''

===Aufgabe 15===
:von oben nach unten
:*Typ-0; allgemeine
:*Typ-1; kontext-sensitive
:*Typ-2; kontext-freie
:*Typ-3; reguläre

===Aufgabe 16===
:''Lückentext'': Die Chomsky-Hierarchie klassifiziert die durch Grammatiken erzeugbaren Sprachen über Eigenschaften der Produktionsregeln der Grammatiken. Eine Grammatik ''G'' ist ein Tupel ''G'' = (<u>&Sigma;,V,S,P</u>), wobei <u> &Sigma;</u> ein <u> Alphabet</u>, <u>V</u> eine Menge von <u> Variablen</u>, <u>S</u> die <u> Startvariable</u> und <u> P </u> eine Menge von <u> Produktionsregeln </u> ist.
:Die Klasse der regulären Sprachen enthält Sprachen, die über <u>...</u> Grammatiken gebildet werden können. Eine Grammatik heißt <u>...</u>, wenn alle ihre Produktionsregeln ''u'' &rarr; ''v'' &isin; ''P'' die Eigenschaften u &isin; <u> V </u> sowie ''v'' &isin; <u> &Sigma; </u> oder ''v'' &isin; <u> &Sigma; &omicron; V </u> erfüllen. Ein Beispiel einer typischen regulären Sprache ist die Sprache ''L<sub>rg</sub>'' = <u>{a<sup>n</sup> | n &ge; 1}</u>. Reguläre Sprachen können entweder <u> endlich</u> oder <u>unendlich</u> sein. Die Klasse der <u>endlichen</u> Sprachen bildet hierbei eine Teilklasse der regulären Sprachen. Reguläre Sprachen werden von enlichen Automaten erkannt. Endliche Automaten können deterministisch oder nichtdeterministisch sein. Die Klasse der von deterministischen endlichen Automaten akzeptierten Sprachen ist hierbei <u> gleich </u> der Klasse der von nichtdeterministischen endlichen Automaten akzeptierten Sprachen.
:Die kontextfreien Sprachen werden durch solche Grammatiken gebildet, deren Produktionsregeln ''u'' &rarr; ''v'' &isin; ''P'' die Form ''u'' &isin; <u>V</u> sowie ''v'' &isin; <u> (&Sigma;&cup;V)*</u> haben. Damit ist natürlich jede <u>reguläre</u> Grammatik auch eine <u> kontextfreie</u> Grammatik. Ein typisches Beispiel einer kontextfreien Sprache ist ''L<sub>kf</sub>'' = <u>{a<sup>n</sup>b<sup>n</sup>|n &gt; 1} </u>. Jede kontextfreie Grammatik ''G'' läßt sich durch geeignetes Umformen der Regeln der Grammatik in eine Grammatik ''G'' ' in <u>Chomsky-Normalform</u> konvertieren. Die von ''G'' und ''G'' ' erzeugten Sprachen sind hierbei <u>gleich</u>. Die Produktionsregeln ''u'' &rarr; ''v'' &isin; ''P'' von Grammatiken in <u> Chomsky-Normalform</u> sind hierbei von der Form ''u'' &isin; <u>V</u> und ''v'' &isin; <u> &Sigma;</u> oder ''u'' &isin; <u> V</u> und ''v'' &isin; <u> V &omicron; V</u>. Kontextfreie Sprachen werden von deterministsischen oder nichtdeterministischen Kellermaschinen erkannt. Die Klasse der don deterministischen Kellermaschinen akzeptierten Sprachen ist hierbei <u> ungleich </u> der Klasse der von nichtdeterministischen Kellerautomaten akzeptierten Sprachen. Palindrome sind Worte über einem Alphabet, die von vorne gelesen das selbe Wort ergeben wie von hinten gelesen. Die Sprache der Palindrome mit Trennzeichen läßt sich hierbei auch von <u> deterministischen</u> Kellermaschinen akzeptieren, wohingegen die Sprache der Palindrome ohne Trennzeichen nur von <u>nichtdeterministischen</u> Kellermaschinen akzeptiert wird.
:Die kontextsensitiven Sprachen werden durch solche Grammatiken gebildet, deren Produktionsregeln ''u'' &rarr; ''v'' &isin; ''P'' die Eigenschaft ''u'' &isin; <u> (&Sigma;&cup;V)*&omicron;V&omicron;(&Sigma;&cup;V)*</u> und ''v'' &isin; <u>(&Sigma;&cup;V)* </u> mit |''u''| <u> &le; </u> |''v''| erfüllen. Ein Beispiel einer typischen kontextsensitiven Sprache ist ''L<sub>ks</sub>'' = <u>{a<sup>n</sup>b<sup>n</sup>c<sup>n</sup>| n &ge; 1}</u>
: Die allgemeinen Sprachen werden ebenfalls über Grammatiken gebildet, wobei die Produktionsregeln dieser Grammatiken keinen Einschränkungen unterliegen. Ein typisches Beispiel einer allgemeinen Sprache ist das Halteproblem.

===Aufgabe 17===